\newpage
\section{Apartat C: pols gaussià amb extrems lliures}
\vspace{12pt}

En l'apartat anterior vam visualitzar quin era l'efecte físic que es produeix en la propagació d'un pols gaussià de la forma $u(x, t) = e^{-(x-10-\nu t)^2}$ entre dos punts fixos. En aquest apartat veurem que succeeix quan els extrems de la malla estan lliures.

Per poder realitzar la representació del pols gaussià amb els  extrems de la malla lliures també ha calgut realitzar un tractament especial. Concretament per alliberar els extrems hem establert $
u(0) = u(1)$ i $u(L + 1) = u(L)$.

Com veiem a la figura \ref{fig:onaC-1}, quan executem la simulació s'observa que el pols es desplaça inicialment cap a la dreta. 

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{img/onaB-1.png}
\caption{Evolució del pols Gaussià entre extrems lliures d'una malla (pols incident)}
\label{fig:onaC-1}
\end{figure}

En la figura \ref{fig:onaC-2} podem veure que en el moment en que arriba a l'extrem dret lliure, el pols gaussià es reflexa, modificant-se el seu sentit de propagació i sense produirse un canvi de fase. Això és degut a que el punt situat a l'extrem lliure es mou solidàriament amb el pols, respectant la funció d'ona.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{img/onaC.png}
\caption{Evolució del pols Gaussià entre extrems lliures d'una malla (pols reflexat)}
\label{fig:onaC-2}
\end{figure}

Per aquest motiu podem veure que la representació del pols reflexat únicament difereix de l'inicial en el seu sentit de propagació. Per tant la seva equació és $u(x, t) = e^{-(x-10+\nu t)^2}$.

En arribar el pols gaussià reflexat a l'extrem esquerre podem visualitzar el mateix fenomen obtenint un nou pols reflexat de les mateixes característiques que l'inicial.